Wartości własne macierzy hermitowskich

Definicja 1: Sprzężenie hermitowskie macierzy

Sprzężeniem hermitowskim macierzy \( A=[a_{ij}]\in\mathbb{C}^{m\times n} \) nazywamy macierz \( A^{\ast}=[a^{\ast}_{ij}]\in\mathbb{C}^{n\times m} \), której elementy spełniają warunek:

\( a^{\ast}_{ij}=\overline{a_{ji}}, \)

dla \( i=1,\ldots,n; j=1,\ldots,m \).

Przykład 1: Sprzężenie hermitowskie macierzy

Poniżej przedstawiamy przykładowe macierze oraz ich sprzężenia hermitowskie:

(a) dla macierzy \( 3\times3 \):

\( \left(\begin{array}[c]{ccc} 1 & 2 & 2+i\\1-i & 0 & 2\\3 & -i & 1\end{array}\right)^{\ast}=\left(\begin{array}[c]{ccc} 1 & 1+i & 3\\2 & 0 & i\\2-i & 2 & 1\end{array}\right); \)

(b) dla macierzy \( 2\times3: \)

\( \left(\begin{array}[c]{ccc} 1 & 1+i & i\\1-i & 0 & -3\end{array}\right)^{\ast}=\left(\begin{array}[c]{cc} 1 & 1+i\\1-i & 0\\-i & -3\end{array}\right); \)

\( \left(\begin{array}[c]{ccc} 1+2i & 1-i & 2\end{array}\right)^{\ast}=\left(\begin{array}[c]{c} 1-2i\\1+i\\2\end{array}\right). \)

Przykład 2:

Niech \( v\in\mathbb{C}^{n\times 1} \) będzie wektorem postaci

\( v=\left(\begin{array}[c]{c} v_{1}\\ \vdots\\v_{n} \end{array}\right), \)

w której \( v_{k}\in\mathbb{C} \), dla \( k=1,\ldots ,n \), oznacza \( k \)-tą współrzędną wektora \( v \). Wówczas \( v^{\ast}\in\mathbb{C}^{1\times n} \) przyjmuje postać

\( v^{\ast}=\left(\begin{array}[c]{ccc} \overline{v_{1}} & \ldots & \overline{v_{n}} \end{array}\right). \)

Stąd

(1)

\( v^{\ast}v=\left(\begin{array}[c]{ccc} \overline{v_{1}} & \ldots & \overline{v_{n}} \end{array}\right) \left(\begin{array}[c]{c}v_{1}\\ \vdots\\v_{n}\end{array}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\overline{v_{k}}v_{k}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left\vert v_{k}\right\vert^{2}, \)

gdzie \( \left\vert \cdot\right\vert \) oznacza moduł liczby zespolonej. Liczba \( v^{\ast}v \) jest zatem sumą nieujemnych liczb \( \left\vert v_{1}\right\vert^{2},\ldots,\left\vert v_{n}\right\vert^{2} \). Wynika stąd zależność

(2)

\( v^{\ast}v=0\Leftrightarrow v=\mathbf{0}, \)

w której \( \mathbf{0} \) oznacza wektor zerowy.

Twierdzenie 1: Własności sprzężenia hermitowskiego macierzy

Sprzężenie hermitowskie macierzy posiada następujące własności:

(a) dla macierzy \( A,B\in\mathbb{C}^{n\times m} \):

(3)

\( (A+B)^{\ast} = A^{\ast} + B^{\ast}; \)

(b) dla macierzy \( A\in\mathbb{C}^{n\times m} \) oraz dla liczby zespolonej \( \alpha\in\mathbb{C} \):

(4)

\( (\alpha\cdot A)^{\ast} = \overline{\alpha}\cdot A^{\ast}; \)

(5)

\( (A\cdot B)^{\ast} =B^{\ast}\cdot A^{\ast}. \)

Definicja 2: Macierz hermitowska

Macierz \( A\in\mathbb{C}^{n\times n} \) nazywamy macierzą hermitowską, jeżeli

\( A^{\ast}=A. \)

Rzeczywistą macierz hermitowską, tj. macierz spełniającą warunek

\( A^T=A, \)

nazywamy macierzą symetryczną.

Przykład 3: Macierze hermitowskie

Łatwo sprawdzić, że podane macierze są hermitowskie; dodatkowo, macierz \( B \), jako macierz rzeczywista, jest macierzą symetryczną:

\( \begin{array}[c]{ccc} \text{a) }A=\left(\begin{array}[c]{ccc} 2 & 3+i & 5+i\\3-i & 0 & 2+i\\5-i & 2-i & 2\end{array}\right), & & \text{b) }B=\left(\begin{array}[c]{ccc} 1 & 3 & 4\\3 & 2 & -1\\4 & -1 & 1\end{array}\right) .\end{array} \)

Niech \( A\in\mathbb{C}^{n\times n} \) będzie macierzą hermitowską. Przypuśćmy, że \( \lambda \) jest wartością własną macierzy \( A, \) zaś \( v\neq0 \) odpowiadającym tej wartości własnej wektorem własnym, tj. \( Av=\lambda v \). Wówczas, na podstawie definicji macierzy hermitowskiej oraz twierdzenia Własności sprzężenia hermitowskiego macierzy, otrzymujemy kolejno

\( 0 =v^{\ast}(A-A^{\ast})v=v^{\ast}Av-v^{\ast}A^{\ast}v=v^{\ast}\left( A v\right) -\left( A v\right)^{\ast}v=\\ \hspace{1em} =v^{\ast}\left( \lambda v\right) -\left( \lambda v\right) ^{\ast}v= \lambda v^{\ast}v -\overline{\lambda}v^{\ast}v=(\lambda-\overline{\lambda})v^{\ast}v. \)

Na podstawie warunku ( 2 ) wnioskujemy, że \( v^{\ast}v \neq0 \) (gdyż \( v\neq 0 \)). Stąd oraz z uzyskanej równości ( \( \lambda-\overline{\lambda})v^{\ast}v=0 \) wynika, że \( \lambda=\overline{\lambda} \). To oznacza, że wartość własna \( \lambda \) jest liczbą rzeczywistą.

Wniosek 1: Wartości własne macierzy hermitowskich

Wartości własne macierzy hermitowskiej są rzeczywiste.

Przykład 4:

Niech \( A\in\mathbb{C}^{2\times2} \) będzie macierzą postaci

\( A=\left(\begin{array}[c]{cc} 1 & 1-i\\1+i & 2\end{array}\right). \)

Ponieważ \( a_{11}=\overline{a_{11}}=1 \), \( a_{22}=\overline{a_{22}}=2 \) oraz \( a_{21}=1+i = \overline{1-i} = \overline{a_{12}} \), zatem macierz \( A \) jest macierzą hermitowską. Jej wielomian charakterystyczny to

\( \varphi_{A}\left( \lambda\right) =\left\vert\begin{array}[c]{cc} 1-\lambda & 1-i\\1+i & 2-\lambda\end{array}\right\vert =\lambda^{2}-3\lambda; \)

macierz \( A \) ma więc dwie rzeczywiste wartości własne: \( \lambda_{1}=0, \) \( \lambda_{2}=3 \).

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka